我认为大学中有院系之分是必要的，但其结果是很不幸的。逻辑被人看做是哲学的一个分枝，而且曾为亚里士多德所论述过，因此大家就认为这一个科目只有熟悉希腊文的人才能讨论。结果，数学只被不懂逻辑的人所讨论。自亚里士多德和欧几里德时代到本世纪，这种分裂是有很大的损害的。

在一九○○年巴黎开国际哲学会的时候，我意识到逻辑改革对于数理哲学的重要性。

我是因为听了来自突林的皮亚诺和到会的一些别的哲学家的讨论才认识到了这一点。在此以前，我不晓得他曾做过一些什么。但是我深深感到，在每项讨论的时候，他比别人更精确，在逻辑上更严密。我去见他，并对他说：“我想把你所有的著作都读一下，你身边有吗？”他有。我立刻把他的著作都读了。正是这些著作促进了我对于数学原理有我自己的主张。

数理逻辑并不是一个新的学科。莱布尼茨曾经尝试了一下，但是由于敬重亚里士多德，而受到了阻碍。布尔在一八五四年发表了他的《思想律》，弄出来一整套计算法，主要是讲类的包含。皮尔斯曾经开创了一种关系逻辑。施勒德曾发表过一部著作，分三大卷，概述了以前的成果。怀特海在他的《普遍代数学》的第一部分里专论布尔的计算法。上面所说的这些著作大多数我那时是熟悉的。但是我不觉得这些著作对于弄明白算术的基本原理有什么帮助。正在我去巴黎之前我关于这一个题目所写的文章的原稿，我现在还有，我现在又把它读了一遍，我发现，关于算术对于逻辑所提出来的问题，这篇文章连初步的解决都没有做到。

皮亚诺所给我的启发主要是来自两个纯乎是技术上的进步。如果一个人没有象我那样花过若干年的时间想法了解算术，他很不容易知道这两种进步的重要性。这两种进步都是弗雷格在更早一个时期取得的。我疑心皮亚诺未必知道这一点，而且我也是到后来才知道的。虽然有困难，可是我一定尽我的能力来解释这两种进步是什么，以及为什么很重要。我先讲这两种进步是什么。

第一种进步是把“苏格拉底是不免于死的”这种形式的命题和“一切希腊人是不免于死的”这种形式的命题分开。亚里士多德和人所共认的关于三段论式的学说（康德以为这种学说永远不能再有改进）认为这两种形式的命题是没有区别的，要不然，总也没有什么大的不同。但是，事实上，若看不出这两种形式是完全不同，不论是逻辑还是算术，都不会有长足的进展。“苏格拉底是不免于死的”把一个宾辞加于一个是人名的主辞上。“一切希腊人是不免于死的”表示两个宾辞之间的关系，也就是，“希腊人”和“不免于死”，把“一切希腊人是不免于死的”全部说出来是，“就ｘ的一切可能有的值来说，如果ｘ是希腊人，ｘ是不免于死的”。这里不是一个主辞—宾辞的命题，而是把两个命题函项连结起来。如果给ｘ这个变项指定一个值，则两个命题函项的每一个就变成一个主辞—宾辞的命题。“一切希腊人是不免于死的”这个命题并不是单讲希腊人怎么样，而是一个讲宇宙中一切事物的命题。若ｘ是希腊人，“如果ｘ是希腊人，ｘ就是不免于死的”这个命题固然能够成立，若是ｘ不是希腊人，这个命题也一样能够成立。

实在说来，即使希腊人完全不存在，这个命题也能成立。“一切小人国的人是不免于死的”是能成立的，虽则小人国的人是不存在的。“一切希腊人是不免于死的”之所以不同于“苏格拉底是不免于死的”这个命题，是它并没有指明哪一个人，而仅仅是表示宾辞与宾辞的连结。它之能够成立不能用枚举来证明，因为（再说一遍）所说的这个ｘ并不限于是希腊人的那些ｘ，而是及于全宇宙。但是，虽然这个命题不能用枚举来证明，却能为人所理解。我不知道是否有长翅膀的马，这样的马我确是从来没有见过，但是我却可以知道一切长翅膀的马都是马。总而言之，凡含有“一切”这两个字的命题都是包含命题函项的命题，但是并不包含这些函项的任何特殊的值。

我从皮亚诺听到的第二个重要的进步是，由一个项所成的一个类和那个项并不相等。

例如，“地球的卫星”是一个类，它只有一个项，就是，月亮。但是把一个类和它仅有的项等同起来，就在集合的逻辑里引起完全无法解决的问题来，因此在数的逻辑里也引起完全无法解决的问题来，因为数所适用的是集合。一经指出，就很容易明白把“地球的卫星”和月亮等同是不适当的。如果发现地球有第二个卫星，“地球的卫星”这个短语不会改变它的意义；对于一个懂天文学却不知道地球有一个卫星的人，这个短语也不会缺乏意义。从另一方面说，如果我们可以把“月亮”当做一个名称，关于月亮的命题，除了对于那些晓得月亮的人以外是没有意义的。对于不晓得月亮的人如果不解释“月亮”

就等于“地球唯一的卫星”这个短语，“月亮”不过是一个没有意义的声音罢了；如果这个解释被代替了，关于月亮的命题就没有我们说：“今天晚上月亮亮”的时候在你和我看来所具的意义。一个人不用描写，他是把概念连结到一起，不是和感觉世界直接相接触。一个人说：“月亮亮”，他却是和感觉世界直接相接触。关于这一点，我们现在所讨论的这个区别，和前面我们所说“苏格拉底是不免于死的”跟“一切希腊人是不免于死的”之间的分别，有些相似。

读者说不定会以为，上边的那些区别不过是学究的装腔做势，卖弄学问。我现在不能不想法说明并非如此。

弗雷格以前的作者都把算术的哲理想错了。他们这些人所犯的错误是一个很自然的错误。他们以为数目是由数数儿得来的。他们陷入了无法解决的困境，是因为可以算做一个的东西，也一样可以算做多。请以这样一个问题为例：“英国有多少足球俱乐部？”

在回答这一个问题的时候，你把每一个俱乐部当做一，但是你也一样可以问：“某某足球俱乐部有多少会员？”那样，你就把这个俱乐部当做多了。而且，如果甲先生是这些俱乐部之一的一个会员，虽然他原先算做一，你这样问也一样正当：“甲先生是由多少分子而成的？”那么，甲先生就算是多。所以，显而易见，从计算的观点来说，使什么东西之为一，不是这件东西的物质构造，而是“这是什么的一个具体例子？”这个问题。

你从计算所得来的数目是某种集体的数目。在你数这个集体以前，它无论什么数目都有。

只是按某种东西的许多实例来说，这个集体才是多。这个集体又是另一种东西的一个实例，在数数目的时候是按实例来说算做一。这样我们就不得不面向这一个问题：“一个集体是什么？”和“一个实例是什么？”若是不用命题函项，二者都无法理解。一个命题函项就是一个式子，其中包含一个变项，一旦给这个变项定一个值，这个式子就成了一个命题。举例来说，“ｘ是一个人”是一个命题函项。如果我们用苏格拉底或柏拉图或任何别的人来代替ｘ，我们就得到一个命题。我们也可以用一个什么不是人的东西来代替ｘ，我们仍然得到一个命题，虽然按这一个例子来说这个命题是不能成立的。一个命题函项仅是一个式子而已。它本身并不能表示任何东西。它可以作一句话的一部分，这句话确有所断定，能成立或不能成立：“ｘ是一个使徒”是没有意义的。但是“ｘ有十二个值，因此‘ｘ是一个使徒’是能成立的”是一个完整的句子。类似的话也可以用于实例这个概念。我们把某种东西当做一个实例的时候，我们是把它当做一个命题函项里一个变项的一个可能有的值。如果我说：“苏格拉底是人的一个实例”，我的意思是说，苏格拉底是ｘ的一个值，因此“ｘ是一个人”是能成立的。经院哲学家有一句格言，意思是说，一和存在是同义语。这句格言只要大家信以为真，就没有法子把１的意义弄明确。事实的真相是，存在是一个没有用处的字。而且，误用这个字的人应用这个字所应用到的那种事物既可以是一，也往往可以是多。?一不是事物的一个特征，而是某些命题函项的一个特征，就是说，有以下这种特性的那些命题函项：有一个ｘ使这个函项为真，而且这个ｘ是这样，如果ｙ使这个函项为真，ｙ就和ｘ是同一的。这是一元函数的定义。１这个数目是一元的特性，这种特性是为某些函数所具有的。同样，零函数是一个对于ｘ的所有的值来说都是错误的函数，成为一个零函数，其特性是０。

关于数的那些旧的学说，到０和１以上，总是遇到困难。

最初使我得到很深的印象的是皮亚诺对付这些困难的本领。

但是须待很多年之后我才得到这个新观点的全部结论。在数学中想出“类”来是方便的。有一个长的时期，我以为把类和命题函项加以区别是必须的。可是，我最后得到的结论是，除非是一种技术上的手段，这种区别是不必要的。“命题函项”这种话听起来也许可怕，却无怕的必要。有很多时候我们可以用“特性”这个字来代替。所以我们可以说，每个数是某些特性的一种特性。但是，除了做最后的分析，继续用“类”这个字也许更容易一些。

以上所说的理由使我得出来的关于数的定义，弗雷格已先于我十六年就得出来了。

但是关于这一点，我是在我重新发现这个定义大约一年以后才知道的。我对于２所下的定义是一切双的类，３是一切三个一组的类，等等。一双的定义是一个类，这个类有ｘ项和ｙ项，ｘ和ｙ不等同，并且，如果ｚ是这一个类的一项，ｚ就和ｘ或ｙ相等。一般说来，一个数就是一组的类，这一组类有一种特性，这种特性叫做“相似”。

这可以有如下的界说：如果有一种方法把两个类的项一对一地配合起来，这两个类就是相似。举例来说，在一个一夫一妻制的国家里，你可以知道结了婚的男人的数目是和结了婚的女子的数目相同，用不着知道二者究竟有多少（我是把寡妇和鳏夫除外）。

还有，如果一个人没有残缺一条腿，你大概可以确实知道他右脚鞋的数目和他左脚鞋的数目是一样的。

在一次聚会中，如果每人都有一把椅子坐，并且没有空着的椅子，那么椅子的数目就必是和坐椅子的人的数目是一样的。

在这些例子中，一类里的那些项和另一类里的那些项之间有所谓一对一的关系。相似正是这种一对一关系的存在的定义。

任何类的数可以说就是所有与它相似的那些类。

这个定义有多方面的长处。它能应付所有从前关于０和１所发生的问题。０就是没有项的那些类的类，也就是说，它是一个类，其唯一的项是一个没有项的类。１是一些类的类，那些类的特性是，它们是由与一个ｘ项相等的任何东西而成的。这个定义的第二个长处是，它克服了关于一和多的困难。

因为所计算的项是按一个命题函项的实例来计算的，所含的一只是命题函项的一。

这个命题函项的一决不和实例的多相抵触。但是比这两个长处更重要的是，我们就不把数当做形而上学上的实体了。事实上，数就只成了语言上的便利，不比“等等”或“即”

更有内容。克罗耐克研究数学的哲理，说：“上帝造了整数，数学家们造了其余的数学装置”。他这话的意思是说，每个整数必须有一个独立的存在，但是别类的数就不必这样。有了前面的关于数的定义，整数的这个特权就消失了。数学家的根本的器具就化为?或、不、一切、一些等这样一些纯粹是逻辑上的名辞了。在知识的一个部门里所需要的那些意义不明确的术语和未经证明的命题，我把它们的数目消减了，这是我第一次感到奥卡姆剃刀的用处。

上面关于数的那个定义还有一个长处，是极其重要的。那就是，这个定义扫除了关于无限数的困难。只要数是由把项数一数得来的，那就不容易想象一次不能数完的一些集团的数目。举例来说，你不能把有限数数完。无论你数多么久，后面总还有更大的数。

所以，只要数是从数数儿得来的，似乎谈有限数的数目就是不可能的。可是似乎数数目只是知道一个集体里有多少项的一种方法而已，并且只能用于那些有限的集体。应合这个新学说的数数目的逻辑是这样：例如，假定你是数金镑钞票。你心里努一把力量，使这几张钞票和１，２，３等数目之间有一对一的关系，直到数完钞票为止。按照我们的定义，你就知道，钞票的数目是和你念过的数目一样。

而且，如果你是从１开始的，并且这样下去没有遗漏，你念过的那些数目的那一个数目是你念过的最后的那个数目。这个办法你不能用于无限的集体，因为人生是不够长的。但是，因为数数目再也不重要了，你也就用不着关心了。

既已把整数象以上作了界说，就没有困难引伸其义以应数学的需要。有理分数是来自乘法的整数之间的比数。实数是一组一组的有理数，这些有理数是由零以上一直到某点所有的东西而成。举例来说，二的平方根是所有平方少于二的那些有理数。我相信我是这个定义的发明者。它解决了一个谜，对于这个谜，自从毕达哥拉斯那个时代以来所有的数学家都没有办法。复素数可以看成是成双的实数，所取“双”的意义是，其中有一个第一项和一个第二项，也就是说，其中项的次序是很重要的。

除了我所提到的事项以外，在皮亚诺和他的门徒的工作中还有一些东西使我喜欢。

我喜欢他们不用图形发展几何学的方法，这样就表示康德的直观是用不着的。我也喜欢皮亚诺的曲线，这个曲线普及于一整个范围。在我遇到皮亚诺以前，我已经充分知道关系的重要性。所以我立刻就着手用符号处置关系逻辑，以补充皮亚诺所做的工作。我是在七月之末遇见他的。在九月里我写了一篇文章讨论关系的逻辑，发表在他的学报里。

我把同一年的十月、十一月和十二月用于撰写《数学的原理》。现在那本书的第三、第四、第五和第六部分和我在那几个月所写的几乎完全是一样的。可是，第一、第二和第七部分我后来又重新写过。我在十九世纪的最后一天，也就是一九○○年的十二月三十一日，写完《数学的原理》的初稿。那年六月以后的几个月是我智力活动的蜜月，无论在此以前或在此以后，我都不曾尝到过。每天我都发现我懂得了一些前一天不曾懂得的东西。我以为一切困难都解决了，一切问题都结束了。但是这个蜜月没有能持久。第二年的年初，智力活动上的悲哀充分地降到了我的头上。