运气，其实不简单

在普林斯顿时，有一天我坐在休息室里，听到一些数学家在谈论e的级数。把e展开时，你会得到1＋x＋(x2/2!)＋(x3/3!)十……。式中每一项，来自将前一项乘以x，再除以下一个数字。例如，要得到(x4/4!)的下一项，你可把它乘以x和除以5。这是很简单的。

很小的时候，我就很喜欢研究级数。我用这个级数方程式计算出e值， 亲眼看到每一个新出现的项，如何很快地变得很小。

当时我喃喃自语，用这方程式来计算e的任何次方（或称“幂次”）是多么容易的事。

“咦，是吗？”他们说：“那么，e的3.3次方等于多少？”有个小鬼说——我想那是塔奇说的。

我说，“那很容易。答案是27．11。”

塔奇明白我不大可能单靠心算得到这答案的：“嘿！

你是怎么算的？”

另一个家伙说：“你们都晓得费曼，他只不过在唬人罢了，这答案一定不对。”

他们跑去找e 值表，趁此空档我又多算了几个小数位：

“27．1126，”我说。

他们在表中找到结果了：“他居然答对了！你是怎么算出来的？”

“我把级数一项一项计算，然后再加起来。”

“没有人能算得那样快的。你一定是刚巧知道那个答案。e的3次方又等于多少？”

“嘿，”我说：“这是辛苦工呢！一天只能算一题！”

“哈！证明他是骗人的！”他们乐不可支。

“好吧，”我说，“答案是20．085。”

他们连忙查表，我同时又多加了几个小数位。他们全部紧张起来了，因为我又答对了一题！

于是，眼前这些数学界的精英分子，全都想不通我是如何计算出e的某次方！ 有人说：“他不可能真的代入数字，一项一项地加起来的——这太困难了。其中一定有什么诀窍。你不可能随便就算出像e的1．4次方之类的数值。”

我说：“这确是很困难，但好吧，看在你的份上，答案是4．05。”

当他们在查e值表时，我又多给他们几个小数位，说：

“这是今天的最后一题啦！”便走出去了。

遇到个中高手

事情的真相是这样的：我碰巧知道三个数字的值——以e为底的10的对数Loge10（用以将数字从10为底换到以e为底），这等于2．3026；又从辐射研究（放射性物质的半衰期等），我知道以e为底的2的对数（Loge2）等于0．69315。

因此，我也知道e的0．7次方差不多等于2。当然，我也知道e的一次方的值，那就是2.71828。

他们要考我的第一个数字是e的3.3次方，那等于e的2．3次方——即等于10——乘以e，即27．18。而当他们忙着找出我所用方法的同时，我在修正我的答案，计算出额外的0．0026，因为我原来的计算是用了较高的值，即2.3026。

我明白这种事情可一不可再，因为刚刚不过全凭运气而已。但这时他又说e的3次方，那就是e的2．3次方乘以e的0．7次方，我知道那等于20再多一点点。而当他们在忙着担心我到底是怎样计算时，我又替那0．693作修正。

做了这两题后，我确实觉得没法再多算一题了，因为第2题也全靠运气才算出来的，但他们再提出来的数是e的1．4次方，即e的0．7次方自乘一次，那就是4再多一点点而已！

他们一直搞不懂我是怎样算出来的。

到了罗沙拉摩斯，我发现贝特才是这类计算的个中高手。例如，有一次我们正把数字代入方程式里，需要计算48的平方。正当我伸手要摇玛灿特计算机时，他说：“那是2300。”我开始操作计算机，他说：“如果你必须要很精确，答案是2304。”

计算机也是2304，“哗！真厉害！”我说。

“你不知道怎样计算接近50的数字的平方吗？”他说：

“你先算50的平方，即2500，再减去你要计算的数及50之间的数差（在这例子中是2）乘以一百，于是得到2300。如果你要更精确，取数差的平方再加上去，那就是2304了。”

几分钟之后，我们要取2．5的立方根。那时候，用计算机算任何数字的立方根之前，我们先要从一个表里找出第一个近似值。我打开抽屉去拿表——这次时间较多——他说：“大约1．35。”

我在计算机上试算，错不了！“你是怎样把它算出来的？”我问：“你是否有什么取立方根的秘诀？”

“噢，”他说：“2．5的对数是……。对数的三分之一是1.3的对数，即……，以及1．4的对数，即多少多少之间，我就用内插法把它求出来。”

于是我发现：第一，他能背对数表；第二，如果我像他那样用内插法的话，所花的时间绝对要比伸手拿表和按计算机的时间长得多。我佩服得五体投地。

从此以后，我也试着这样做。我背熟了几个数字的对数值，也开始注意很多事情。比方有人说，“28的平方是多少？”那么注意2的平方根是1．4，而28是1．4的20倍，因此28的平方一定接近400的两倍，即800上下。

如果有人要知道1．73除1是多少，你可以立刻告诉他答案是0．577，因为1．73差不多等于3的平方根，故此1/1.73就差不多等于3的平方根再除以3，而如果要计算1/1.75呢，它刚好是4/7，你知道1/7那有名的循环小数，于是得到0．571428……跟贝特一起应用各种诀窍做快速心算，真是好玩极了。

通常我想到的，他都想到，我很少能算得比他快。而如果我算出一题的话，他就开怀大笑起来。无论什么题目，他总是能算出来，误差差不多都在1%以内。对他而言，这简直是轻而易举——任何数字总是接近一些他早已熟悉的数字。

口出狂言

有一天我心情特别好，那时刚巧是午饭时间，我也不晓得是怎么搞的，心血来潮地宣布：“任何人如果能在10秒钟内把他的题目说完，我就能在60秒之内说出答案，误差不超过10％！”

大家便开始把他们认为很困难的问题丢给我，例如计算1/（1+x4）的积分等。但是事实上，在他们给我的x 范围内，答案的变化并不太大。他们提出最困难的一题，是找出（1＋x）20中x10的二项式系数，我刚好在时间快到时答出。

他们全都在问我问题，我得意极了，这时奥伦刚巧从餐厅外的走廊经过。其实，来罗沙拉摩斯之前，我们早在普林斯顿共事过，他总是比我聪明。例如，有一天，我心不在焉地在玩一把测量用的钢卷尺——当你按上面的一个钮时，它会自动卷回来的那种；但卷尺的尾巴也往往会往上反弹，打到我的手。“哇！”我叫起来，“我真呆，这东西每次都打着我，我却还在玩这东西。”

他说：“你的握法不对，”把卷尺拿过去，尺拉出来，按钮，卷回来，他不痛。

“哇！你怎么弄的？”我大叫。

“自己想想吧！”

接下来的两星期，我无论走到哪里，都在按这卷尺，手背都被打得皮破血流了。终于我受不了。“奥伦！我投降了！你究竟用什么鬼方法来握，都不会痛？”

“谁说不痛？我也痛啊！”

我觉得自己真的有够笨，竟让他骗我拿着尺打自己打了两个札拜！

而现在奥伦刚巧经过餐厅，这些人都兴奋极了，“嘿，奥伦！”他们喊：“费曼真行啊！我们10秒钟内说得完的题目他就能在1分钟内给出答案，误差10%。你也来出个题目吧！”

他差不多脚步也没停下来，说：“10的一百次方的正切函数值。”

我被难倒了：我得用π去除一个有一百位的数字。我没办法了！

接受挑战

有一次我夸口：“其他人必须用围道积分法来计算的积分，我保证能用不同方法找出答案。”

于是奥伦便提出一个精彩绝伦、该死的积分给我。他从一个他知道答案的复变函数开始，把实部拿掉，只留下虚部，结果成为一道非用围道积分法不可的题目！他总是让我泄气得很，是个很聪明的人。

刚到巴西时，有一次我在某家餐厅里吃午餐。我不知道那时是几点钟了，但那里只有我一个顾客——我老是在奇怪的时间跑去餐厅。我吃的是我很喜爱的牛排配饭，４个服务生在旁边闲站。

一个日本人走进来。以前我就见过他在附近流浪，以卖算盘为生。他跟服务生谈话，并提出挑战：他的加法可以比任何人都快。

服务生怕丢面子，因此他们说：“是吗？你为什么不去跟那边那位先生挑战？”

日本人向我走过来，我抗议：“我不大会讲葡萄牙语！”

服务生全在笑：“葡萄牙文的数字很容易！”

他们替我找来纸笔。

那人请一个服务生出一些数字让我们加。他赢太多了，因为当我还在把数目字写下来时，他已经边听边加。

我提议服务生写下两列相同的数字，同时交给我们。

这并没有太大分别，他还是比我快很多。

他有点得意忘形，想更进一步证实他的能力。“Multiplicao！”

他说，他要比乘法。

有人写了个题目，他又赢了，但赢不多，因为我的乘法是相当好的。

然后他犯了个错误：他建议我们继续比除法。他没意识到，题目愈难，我赢的机会就愈大。

我们同时做了一题很长的除法题。这次我们平手。

这使得那日本人很懊恼，因为看来他曾经受过很好的算盘训练，但现在他居然差一点就败给餐厅里的一个顾客。

“Raios cubicos！”他说，声音充满复仇气息。 立方根！他想用算术方法求立方根值！在基础算术题目中，大概再找不出比这更难的题目了。而在他的算盘世界中，立方根也一定是他的拿手项目。

他在纸上写了个数字——随便写的——我还记得那数字是1729.03。他立刻展开计算，口中念念有词，动作不断！

他已开始计算立方根了。

而我则只坐在那儿。

一个服务生说：“你在干嘛？”

我指指头，“我在想！”我说，在纸上写下12。过了一会我已得出12．002。

日本人把额上的汗擦掉，“12！”他说。“哦，不！”

我说。“再多一些数字！再多一些数字！”我充分理解，用一般算术方法求立方根时，找后面的数字比前面的要难多了，这是苦工呢。

他重新埋头苦干，口中“啊咕噜么么”的不停，其间我又多写了两个数字。最后他抬起头来说：“12．0！”

那些服务生兴奋极了，他们跟日本人说：“瞧，他光想想就行了，你却要用算盘！而且他多算出些数字！”

他溃不成军，垂头丧气地走了，服务生则大肆庆祝。

这个顾客是如何打赢算盘的？题目是1729．03。我刚巧知道一立方英尺有1728立方英寸，因此答案必定是12多一点点。多出来的1．03呢，大约是二千分之一， 而我在微积分课里学过，就小分数而言，立方根超出的部分是数字超出部分的三分之一，因此我只需要算1/1728是多少，再乘以4（即除3再乘12）。这是为什么我一下就能算出那么多小数位。

有头脑才有运气

几星期后，那个日本人跑到我下榻的旅馆会客厅里。

他认得我，跑过来说：“告诉我，你怎么能那么快就把立方根算出来？”

我告诉他这是个求近似值的方法，跟误差有关，“比方你说28。那么，27的立方根是3……”

他拿起算盘：哒哒哒哒——“噢！是的。”他说。

我发现：他根本不懂得怎样处理数字。有了算盘，你不必记诵一大堆的算术组合；你只需要知道怎样把小珠子推上拨下。你根本不必知道9加7等于16，而只需要记住加9时，要推一颗十位数的珠子上去， 拨一颗个位数的下来便好了。也许我们算得较慢，但我们才真正懂得数字的奥妙。

此外，他根本无法理解求近似值方法所包含的道理，他不明白在很多情况下，任何方法都求不出完整的立方根，但可以求近似值。因此我永远无法教会他我求立方根的方法，甚至让他明白那天我有多幸运，因为他刚好挑了个像1729．03这样的数字！